کاربرد ریاضیات در طبیعت
کاربرد ریاضیات در طبیعت
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارائه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت میکند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل میدهد، به پیش میبرد، تفسیر میکند و در خدمت انسان قرار میدهد. برای بسیاری از مسائل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسائل را (با این روشها) حل میکنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمیدهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مسالهای برمیخورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری میکند و از هر سمتی به آن حمله میکنید ناکام میشوید... زمانی که ناگهان جرقهای ذهن شما را روشن میکند... عجب!... پس اینطور!... چه زیبا!... و مساله حل میشود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده میکنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی میکند در حالی که دیگری شوق ما را برمیانگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما میشود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمیکند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد
هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل میدهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان سادهتر مدل عینی ترجمه میکنیم و نتایج لازم را بدست میآوریم.وقتی که دانش آموزی میخواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیدهای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مسالههای نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین سادهتر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس میکنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمیرسد و به زحمت در دسترس قرار میگیرد.
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی
این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط میشود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گستردهتری دارد، با کمترین نشانهها ، شباهت بین زمینههای مختلف ریاضی را پیدا میکند و به کشف رابطه بین آنها و فرمولبندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها میپردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارفتر و زیباتر از بقیه حل میکند و با سادهترین و کوتاهترین و در عین حال جالبترین روش به جواب مساله میرسد.
مقدمه
بین رشته های علمی ، که بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، ریاضیّات جای مخصوص و ضمناٌ مهمّی را اشغال کرده است . ریاضیّات با علوم فیزیک ، زیست شناسی ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود این به عنوان یکی از روشهای اصلی در بررسیهای مربوط به کامپیوتر ، فیزیک ، زیست شناسی ، صنعت واقتصاد بکار می رود ودرآینده بازهم نقش ریاضّیات گسترش بیشتری می یابد.
با وجود این مطلب ، برای آموزش جوانان هنوز از همان روشی استفاده می شود که سقراط و افلاطون ، حقایق عالی اخلاقی را برای شیفتگان منطق و فلسفه و برای علاقمندان سخنوری و علم کلام بیان می کردند . در حقیقت در درسهای حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم یادگیری آنها برای زندگی عملی خاطر نشان نمی شود. هرگز از تاریخ علم صحبتی به میان نمی آید. نظریه های سنگین علمی ، ولی هیچ نتیجه ای جز این ندارد که دانش آموزان را از علم بری کند و عدّه ی آنها را تقلیل دهد .
یکی از راههای جدی برای حلّ مسئله توجه به تاریخ علم، گفتگو در باره ی مردان علم و ارتباط ریاضی با عمل است ، ارتباطی که در تمام دوران زندگی بشر هرگز قطع نشده است .
شروع ریاضیات از طبیعت
در روزگاران قدیم که کار بیشتر مردم کشاورزی و گله داری بود ، زمین کشاورزی و مرتع اهمیت زیادی داشت . در آن زمان برای تقسیم مراتع از روش های گوناگونی استفاده می شد . یکی از این روش این بود که هر گله دار با استفاده از یک ریسمان معیار به دارازای مشخص سهم خود را از مراتع جدا می نمود و سپس آن را با علامت هایی نشانه گذاری می نمود حالا از کجا می توانست فهمید که با این ریسمان چگونه می توان صاحب وسیعترین مرتع شد؟
هندسه که از دیرباز یاور بشر بوده است از اندازه گیری زمین کشاورزی و پس از آن ساختمان سازی و ابزار سازی ، نمونه هایی از کاربردهای هندسه هستند . ریاضی دانان دوران باستان به هندسه به عنوان علم محض نیز توجه ویژه ای داشتند . دستاوردهای آنان توسط اقلیدس فیلسوف و ریاضی دان یونان باستان به صورت یک دستگاه منطقی تدوین و گرداوری شد و نقش ویژه ای در تربیت فکر و آموزش تفکر منطقی پیدا کرد ؛ به گونه ای که تا سال ها هماوردی نداشت .
در طول تاریخ پیوند بین ایده های ریاضی به ویژه هندسه و هنر ، مظهر و تجلی گاه روح زیبایی شناسی اندیشه های بلند انسان بوده است . طوری که در جای جای زندگی بشر حضور داشته است .
در طبیعت ساختارهای هندسی نمود فراوانی دارند که از آن جمله می توان شش ضلعی های منتظم در کندوی زنبور عسل ، مسیر حرکت سیارات و نقش های گیاهان را نام برد.
نظم هندسی طبیعت از یک سو ریاضی دانان را به شناخت مبانی ریاضی و هندسی پدیده های گوناگون برانگیخته است و از سوی دیگر هنرمندان برای آفرینش آثار هنری خود از آن الهام گرفته اند . نقش های معماری ایرانی – اسلامی و تزیین های هنری ژاپن از این جمله اند.
از ارتباط ریاضیات با طبیعت بسیار می توان بیان کرد برای نمونه :
پس از اهرام مصر ، مشهورترین مجموعه چندوجهی ها در زمان های باستان ، مجموعه اجسام منتظم است . به نظر می رسد تائتتوس ، ریاضی دان یونانی (369-415 ق . م ) اولین کسی است که با آن ها ریاضی گونه برخورد کرده است . افلاطون ( 347- 427 ق . م ) چند وجهی های منتظم را با کیهان شناسی خود درآمیخت . تیمائوس ، در گفت و گوی خود روی چهار «عنصر» - که همه چیز از آنها تشکیل شده است – بحث می کند . اجزای زمین به شکل مکعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند . اجزای هوا که هشت وجهی های منتظم هستند سبک اند و اگر روی رئوس مخالف نگاه داشته شوند ، به آزادی می چرخند ، اجزای آتش چهار وجهی های منتظم هستند و گوشه های تیزی دارند . اجزای آب بیست وجهی های منتظم و تقریبا کروی هستند و مانند مایعات می توانند بغلتند .
یوهانس کپلر با نسبت دادن دوازده وجهی به کل جهان – شاید چون دوازده وجه آن با دوازده نشان دایرة البروج متناظر بود – به کیهان شناسی افلاطون مطالبی افزود . به این ترتیب هر چند وجهی منتظم ، با یکی از جنبه های دنیا متناظر می شد . کپلر از این فراتر رفت و چندوجهی های منتظم را به دستگاه کپرنیک و سیارات در حال حرکت در مدار خورشید وارد ساخت و از آنها برای توضیح وجود شش سیاره و فاصله خاص این سیارات از مرکز خورشید استفاده کرد . اما این ها تمام داستان چندوجهی های منتظم نیست . ریاضی دانان هنوز به مطالعه این مشغول و دانشمندان برای توصیف اشکال مولکول ها ، بلورها و ترکیبات موجودات زنده ، به استفاده از آنها ادامه می دهند .
کاربرد ارقام
در زمانهای قدیم هر قدمی که در راه پیشرفت تمدّن برداشته می شد، بر لزوم استفاده از اعداد می افزود . اگر شخصی گله ای از گوسفندان داشت ، می خواست آن را بشمرد ،یا اگر می خواست معبد یا هرمی بسازد ، باید می دانست که چقدر سنگ برای آن لازم دارد . اگر دارای زمین بود ، می خواست آن رااندازه گیری کند . اگر قایقش را به دریا می راند ، می خواست فاصله ی خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ی اجناس در بازارها ، باید ارزش اجناس حساب می شد.هنگامی که آدمی محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گیری کند . با بکار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنیای پیرامونش افزود .
عدد پی
هر دایره، حتی قرص خورشیدی که در این تصویر از کسوف کامل در کاپادوچیای ترکیه در سال 2006 گرفته شده است، بدون استثناء از این قاعده پیروی می کند که محیط تقسیم بر قطر برابر با عدد پی است. این عدد اولین بار به طور نه چندان دقیق توسط مصریان و بابلیان محاسبه شد. رقم اعشار پی (...1415926/3) تا حدود هزار میلیون رقم محاسبه شده است.
فراکتالها
تعداد زبادی از عوامل طبیعی مانند شبنم بر روی شاخه های یک درخت، نشان دهندهی رابطهای است که "همسانی" در مقیاسهای کوچک و کوچک تر دارد. این طبیعت فراکتال، فرم هایی از فراکتالهای ریاضی را تقلید می کند به طوريکه شکلها در مقیاسهای متفاوت تکرار می شوتد. فراکتال های این چنینی مانند مجموعهی معروف مندلبرو (Mandelbrot) قابل بیان توسط هندسهی کلاسیک نیستند.
صفر - جایبان و عدد
صفر یکی از مفاهیم بسیار مهم در ریاضیات است. مفهوم صفر به عنوان جای بان (برای مثال : کاربرد صفر در تمایز عدد 33 و 303)؛ در تمدن های هند و بابلی شکل گرفت. سه ریاضیدان هندی، به نامهای براهما گوپتا، ماهاویرا، بهاسکارا، به ترتیب در سده های 628 ،850 و 1185 بعد از میلاد مسیح صفر را به عنوان یک عدد ارزش گذاری کردند و قواعدی برای جمع، تفریق ضرب و تقسیم به وسیله ی صفر وضع نمودند.
بینهایت
آیا یک بینهایت (بیکران) از بینهایت دیگر بزرگتر است؟ تعداد همهی اعداد طبیعی مانند ... ,1,2,3 بینهایت است. همچنین مجموعهی اعداد بین صفر و یک بیکران است. آیا یک مجموعهی اعداد از مجموعهی اعداد دیگر بزرگتر خواهد بود؟ سوال های عمیق ریاضیات مانند این می تواند در شما احساسی از کوچکی در عالم پهناور به وجود آورد.